Este artículo busca resaltar la distancia entre el pensamiento de Gödel y el proyecto del Círculo de Viena. La idea es mostrar que los teoremas del joven Gödel responden a problemas que no pueden siquiera ser planteados dentro del marco epistemológico de dicho proyecto. Comenzamos explicando el proyecto formalista en que se insertan los dos grandes teoremas del joven Gödel. Seguidamente, revisamos el concepto de verdad lógica que aparece en los Principia Mathematica de Whitehead y Russell, para mostrar la distancia entre el proyecto de estos y el del formalismo que guía a Gödel. Posteriormente, revisamos las ideas principales del Círculo de Viena y su articulación en el Aufbau de Carnap, con la finalidad de mostrar que estas se apoyan en presupuestos epistemológicos heredados de Russell hasta tal punto que queda en evidencia lo poco que tienen que ver el proyecto del Círculo de Viena y el trabajo del joven Gödel.
Pese a que en uno de sus manuscritos criticó a abiertamente a Carnap y defendió un realismo conceptual contrapuesto al empirismo lógico de este y del Círculo de Viena (CV), y a que él mismo afirmó haber sido un realista conceptual y matemático desde 1925 y nunca haber defendido la tesis de que la matemática es una sintaxis del lenguaje (cf. , hay circunstancias históricas que se siguen utilizando para asociar su figura y su pensamiento a la agenda intelectual del CV (cf. p.ej., . Dicha asociación suele justificarse aludiendo, por ejemplo, a que Gödel compartió ciudad y espacios académicos con los miembros de este grupo, a que su nombre aparece en varias ocasiones en el diario de Carnap, a que figura como miembro en el listado oficial de 1929 tras ser reclutado por Hans Hahn, y a que el 26 de agosto de 1930, en el Café Reichsrat, Gödel le comunicó personalmente el resultado de su famoso teorema de incompletitud a Carnap.
Con ánimo de resaltar la distancia entre el pensamiento de Gödel y el proyecto del CV, en este trabajo nos proponemos mostrar que los teoremas que le dieron fama mundial a Gödel responden a problemas que no pueden siquiera ser planteados dentro del marco epistemológico del empirismo lógico del CV. En este sentido, el objetivo de este trabajo es mostrar que no hace falta esperar a los aportes del Gödel maduro para ver su oposición al empirismo lógico (aquello ya está bastante bien establecido), sino que en el trabajo que lleva a cabo en sus años de juventud en Viena, Gödel ya asume presupuestos epistemológicos distintos a los que abraza el CV. La divergencia en cuanto a presupuestos epistemológicos que queremos mostrar se debe principalmente a las diferentes visiones sobre la verdad lógica que tienen el logicismo de Russell y el formalismo de Hilbert; y en particular a que solo desde el formalismo se puede plantear el problema de la completitud.
Para llevar a cabo esta tarea, vamos a comenzar por explicar el trasfondo del proyecto formalista en que se insertan los dos grandes teoremas del joven Gödel, es decir, la demostración de completitud de la lógica de primer orden, que apareció con el título de Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Functionenkalküls , y la famosísima demostración de la incompletitud de todo sistema formal que tenga la capacidad de expresar la aritmética, que venía en el artículo Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme . Seguidamente, revisaremos el concepto de verdad lógica que aparece en los Principia Mathematica de Whitehead y Russell, para mostrar lo poco que tiene que ver el proyecto de estos con el trabajo que conduce a Gödel a sus teoremas. Posteriormente, revisaremos las ideas principales del Manifiesto del Círculo de Viena y cómo estas se articulan en el Aufbau de Carnap , que es el esbozo más ambicioso de los propósitos originales del CV. Hacemos esto con la finalidad de mostrar que el CV se apoya en presupuestos epistemológicos heredados de Russell hasta tal punto que se vuelve evidente lo poco que tienen en común su proyecto y el trabajo que conduce al joven Gödel a sus dos grandes teoremas. Por último, hacemos una contraposición directa entre los presupuestos epistemológicos del CV y los que guían el trabajo de Gödel, para mostrar con claridad la divergencia epistemológica.
Que el famoso artículo de 1931 que presenta el teorema de incompletitud lleve el título “Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados” (énfasis añadido) puede invitar a pensar que el teorema de incompletitud de Gödel es una respuesta a problemas planteados por en su intento de mostrar que toda la matemática podía deducirse de unos pocos postulados lógicos. Sin embargo, una revisión cuidadosa nos llevará a mostrar que la cuestión de la completitud tiene otro origen, y que la concepción de verdad lógica utilizada en los Principia Mathematica ni siquiera da el espacio teórico para que este tipo de problema se plantee.
Vamos a revisar primero los acontecimientos históricos que permiten entender el sentido de los teoremas de Gödel. En primer lugar, tenemos como marco general el proyecto de refundación de la matemática que surge en el siglo XIX. Sin duda, el acontecimiento más importante que conduce a dicho proyecto es la crisis de los fundamentos que se sigue de la aparición de las geometrías no-euclídeas. La relevancia de este suceso consiste en que la “sólida verdad” de la geometría axiomática de Euclides, que hasta entonces se había considerado como el ejemplo paradigmático de una teoría matemática rigurosa, parecía tambalearse. El quinto postulado de Euclides, es decir, el Axioma de las paralelas, sostiene que si una recta, al incidir sobre dos rectas, hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Lógicamente, esto es equivalente a decir que por un punto exterior a una línea dada solamente puede trazarse una paralela a esa línea . Desde la antigüedad, dicho axioma resultaba problemático, pues se consideraba que no era autoevidente y que, por lo tanto, debía poderse deducir de los otros axiomas, cuya verdad se “aprecia intuitivamente”, para considerarse como válido. Dicha deducción permaneció esquiva por mucho tiempo, pero la esperanza de que el problema se resolviera no desapareció sino hasta que, en el siglo XIX, gracias al trabajo de Gauss, Bolyai, Lobachevsky y Riemann, se demostró la imposibilidad de deducir el quinto postulado de los otros axiomas . Este resultado implicaba que la axiomatización de Euclides no tenía la última palabra y que era posible construir otros sistemas de geometría desde un conjunto de axiomas distinto al euclídeo, de ahí el concepto de “geometrías no-euclídeas”. Estas nuevas geometrías arrojaron resultados extremadamente interesantes y fructíferos que reanimaron la investigación de los matemáticos, pero, sobre todo, consiguieron erradicar la creencia en que los axiomas de las teorías matemáticas son “verdades autoevidentes”: “The traditional belief that the axioms of geometry (or, for that matter, the axioms of any discipline) can be established by their apparent self-evidence was thus radically undermined” .
Desde entonces, se difundió la idea de que las matemáticas son un terreno de estudio mucho más formal y abstracto de lo que se había pensado con anterioridad, y se empezó a pensar que su “verdad” poco tenía que ver con intuiciones de la experiencia ordinaria. Más bien, lo que empieza a interesar a los matemáticos que buscan refundar su disciplina son los aspectos puramente formales de las teorías, y este afán se vio complementado por la aparición de lenguajes artificiales inspirados en la notación matemática gracias al trabajo de Gottlob Frege y Giuseppe Peano. Esta nueva dirección en los estudios sobre los fundamentos de las matemáticas abre el espacio para la pregunta por la “consistencia”, es decir, para la pregunta por si es posible demostrar que de un determinado conjunto finito de axiomas no se pueden deducir teoremas contradictorios. Para abordar este problema, el matemático David Hilbert, en su obra Grundlagen der Geometrie , propone probar la consistencia de los axiomas de Euclides demostrando que estos pueden transformarse en verdades algebraicas. La estrategia funciona de la siguiente manera:
For instance, in the axioms of plane geometry, construe the expression ‘point’ to signify a pair of numbers, the expression ‘straight line’ the (linear) relation between numbers expressed by a first-degree equation with two unknowns, the expression ‘circle’ the relation between numbers expressed by a quadratic equation of a certain form and so on. .
Una vez hecho esto, y asumiendo que el álgebra es consistente, se sigue que la geometría también lo es, pues ya se ha demostrado que sus postulados satisfacen un modelo algebraico. Este procedimiento es lógicamente riguroso. Pero, obviamente, no pone fin al problema, pues la consistencia de la geometría depende ahora de la consistencia del álgebra. En este sentido, lo que se consigue con este método es solo una demostración de consistencia relativa, pues se desplaza el problema a otro sistema. Consciente de esto, Hilbert ideó también las bases para una demostración de consistencia absoluta. Y propuso que en dicha demostración “(l)a evidencia de que de los axiomas y reglas del sistema no se deriva contradicción alguna tiene que poderse obtener mediante una inspección directa de esas reglas y enunciados fundamentales y no mediante otro tipo de expedientes” . En este sentido, Hilbert concibe la demostración de consistencia absoluta como la exhaustiva formalización de un sistema deductivo. Dicha formalización exhaustiva tendrá dos requisitos básicos. El primero de ellos es que todas las expresiones del sistema sean tomadas meramente como signos vacíos extirpados de toda significación. La segunda es que las reglas de combinación y manipulación de dichos signos sean estipuladas con total precisión . De esta forma, obtendríamos una teoría axiomatizada escrita en un lenguaje formal (p.ej., lógica de predicados de primer orden), que funciona como un cálculo enteramente explícito en el que solo está lo que ya se ha definido. Así, los teoremas obtenidos serían hileras de sucesiones finitas construidas desde un conjunto finito de axiomas convenidos y la manipulación de los signos mediante las reglas prestablecidas para el lenguaje formal empleado. En este sentido, el punto de la formalización de Hilbert es que revela con desnuda claridad la estructura y función del sistema del mismo modo que el nítido modelo de una máquina, y evita así la apelación a un sistema diferente para demostrar la consistencia.
Lo fundamental a notar aquí es que el concepto de teoría pasa de ser una colección de verdades más o menos organizada a ser un conjunto de enunciados obtenidos solo desde la manipulación mecánica de unos cuantos axiomas y unas cuantas reglas de manipulación simbólica previamente establecidas . Y es solo a través de esta nueva concepción de lo que es una teoría que la cuestión de la completitud surge. Una vez que tenemos una teoría formalizada de esta manera, entonces sí que tiene sentido preguntarnos si es que para toda fórmula φ escrita en el lenguaje utilizado para la formalización, la teoría es capaz de deducir como teoremas o bien φ o bien ¬ φ. Si la respuesta es afirmativa, decimos que la teoría es completa, y si hay alguna fórmula φ tal que ni esta ni su negación pueden deducirse de los axiomas, decimos que es incompleta. En este sentido, el formalismo de Hilbert tiene un componente epistemológico sumamente sofisticado. Hilbert es consciente de que una teoría formalizada que pueda fundamentar las matemáticas necesita ser completa. Que una teoría sea incompleta implicaría que existen fórmulas φ que expresan, por ejemplo, conjeturas matemáticas en el lenguaje formal L utilizado para la formalización, y que la teoría en cuestión es incapaz de decirnos si dicha conjetura es verdadera o falsa. El espíritu epistemológico del formalismo busca una reducción del concepto de verdad a procedimientos algorítmicos. Y Hilbert es consciente de los requisitos que dicha reducción precisa, y de que entre ellos se encuentra la completitud. La máxima hilbertiana es que podemos saber y debemos saber, pues en matemática no se admite ignorabimus .
Es precisamente este marco epistemológico trazado por Hilbert en el que toman sentido los problemas abordados por el joven Gödel en sus dos teoremas. Es verdad que Gödel no aborda la completitud de teorías matemáticas sino de lenguajes formales, es decir, de lo que hoy llamamos lógicas. Pero ambos problemas, si bien no son idénticos, están conceptualmente emparentados. Tomemos las siguientes definiciones para tener esto más claro:
Definición 1. (Completitud de una teoría) Una teoría T es completa si y solo si para cada formula φ de su lenguaje, o bien φ pertenece a T o bien ¬ φ pertenece a T. .
Definición 2.(Completitud de una lógica) Una lógica L es completa si y solo si existe un algoritmo capaz de enumerar recursivamente todas sus verdades lógicas, es decir, todas sus fórmulas válidas. .
Como se puede apreciar con estas definiciones, la principal diferencia entre la completitud de una teoría y la completitud de una lógica es el objeto de estudio. En el primer caso (Definición 1.) estamos estudiando propiedades de teorías matemáticas formalizadas. Mientras que en el segundo caso (Definición 2.) estamos estudiando los lenguajes formales con los que se puede formalizar dichas teorías. La completitud de una teoría estudia la capacidad de dicha teoría para proveer información sobre un área de las matemáticas. En concreto, estudia si la teoría en cuestión puede o no derivar todos los postulados verdaderos y falsos sobre cierta área de las matemáticas. Por ejemplo, la teoría en cuestión podría ser la Aritmética de Peano formalizada en lógica de predicados de primer orden, y el área de las matemáticas la aritmética de los números naturales. Por el otro lado, la completitud de una lógica estudia la existencia de un algoritmo que pueda enumerar recursivamente todas las verdades lógicas, es decir, las fórmulas válidas de la lógica en cuestión (p.ej., lógica proposicional, lógica de predicados de primer orden, etc.). Sin embargo, en el fondo, el problema es el mismo. En lugar de formalizar teorías matemáticas, las lógicas buscan captar las prácticas inferenciales humanas en un sistema formalizado siguiendo las condiciones estipuladas por Hilbert para la demostración de consistencia absoluta. Así, tenemos un lenguaje de signos extirpado de toda significación L, pero prescindimos de los axiomas de las teorías matemáticas y trabajamos solo con un conjunto de reglas deductivas que nos permitan derivar las fórmulas válidas de esta lógica, es decir, que nos permitan clasificar sus verdades lógicas. Una fórmula válida o verdad lógica en este sentido sería, por ejemplo, p ⋀ q→p en lógica proposicional. Solo cuando hemos hecho esto, y tomamos en cuenta las exigencias epistemológicas del formalismo de Hilbert, surge la pregunta por la completitud de una lógica. Pues para formalizar el concepto de verdad hace falta que la lógica en cuestión sea capaz de deducir mediante un algoritmo todas las fórmulas válidas, es decir, todas las verdades lógicas del lenguaje formal (de la lógica) en cuestión. Y para estar seguros de eso se requiere una demostración de completitud. De ahí que el concepto de completitud de una lógica apareciera por primera vez definido de manera explícita en el trabajo de Hilbert y Ackerman Grundzüge der Theoretischen Logik (cf. .
Ahora bien, cuando Gödel comienza a interesarse por los fundamentos de la matemática los trabajos de lógica en esta dirección son aún escasos. Sin tomar en cuenta el trabajo de Frege, podemos identificar solamente los Principia de Whitehead y Russell y los Grundzüge de Hilbert y Ackerman . El lenguaje de los Principia era considerado como el modelo en el que debía presentarse un sistema axiomático capaz de fundamentar las matemáticas, y es probablemente por esto que Gödel lo toma como referencia en el artículo de 1931. Esto podría invitar a pensar que la completitud es un problema que se plantea desde el marco epistemológico en que Russell y Whitehead abordan los fundamentos de la matemática. Sin embargo, los problemas de completitud que aborda Gödel en sus famosos teoremas no pueden ser planteados fuera del marco epistemológico del formalismo. En los Principia hay compromisos epistemológicos muy diferentes de los que se obtienen desde la precisión con que Hilbert aborda los fundamentos de las matemáticas. Como se mostrará en la siguiente sección, para Whitehead y Russell el concepto de verdad lógica es una noción informal de carácter intuitivo y autoevidente que, en cuanto tal, permite plantear un conjunto de axiomas ‘fundamentales’ sin necesidad de ninguna demostración ulterior que justifique por qué escoger aquel conjunto de axiomas y no otro. Pero, como hemos visto, el problema de la completitud solo puede ser planteado cuando se entiende que el concepto de verdad lógica (o verdad matemática, si se quiere) no es completamente intuitivo, sino que hace falta demostrar, matemáticamente, incluso la consistencia de los postulados que tomamos como axiomas de las teorías. Lo que el programa de Hilbert explota es precisamente el hecho de que la verdad no es completamente intuitiva, pues existe la posibilidad de capturar formalmente, mediante algoritmos (procedimientos efectivos o cálculos), “ciertas estipulaciones acerca de la noción general de verdad, como que toda proposición es o bien verdadera o bien falsa pero nunca ambas cosas a la vez” . Y es solo siguiendo este rumbo hilbertiano que pudo aparecer la demostración de completitud de lo que hoy conocemos como Lógica de primer orden en la tesis de habilitación de Gödel “Über die Vollständigkeit der Logikkaküls”, presentada en 1929 y de la que se deriva el artículo “Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Functionen Kalküls” , con la última respuesta positiva para el proyecto formalista. Y, como todos ya sabemos, en este mismo camino se inserta la demostración de la incompletitud de toda lógica con la capacidad de expresar la aritmética que se demuestra en Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme .
Antes de abordar los presupuestos epistemológicos del CV, es preciso que nos adentremos un poco más a fondo en ciertos aspectos de los Principia Mathematica de Whitehead y Russell. En lo que se refiere a extensión, dicha obra constituye un esfuerzo monumental en el que utilizando lenguajes artificiales tomados de Frege y Peano se derivan partes extensas de la matemática partiendo de un escaso número de axiomas y conceptos lógicos. Con esto en mente, uno pensaría que los autores de esta obra habrían arribado a las mismas preguntas que hace Hilbert sobre las propiedades que debe tener un sistema formal para que se lo pueda considerar como una teoría fundamental, y entre ellas, a la pregunta por la completitud. Sin embargo, Russell y Whitehead no se plantean ninguna pregunta de este tipo. Siguiendo el trabajo de , podemos decir que este curioso hecho solo se explica si atendemos al concepto de verdad lógica que estos autores están manejando.
Lo que distingue a la lógica para es el hecho de que puede tratar con la generalidad más amplia, en el sentido de que trata con aquellos enunciados cuyo contenido no afecta a su verdad. En consecuencia, un enunciado que es cierto para unos casos y no para otros no pertenece a la lógica:
Para Whitehead y Russell, las verdades de la lógica debían ser como las verdades contenidas en los enunciados de Euclides. Enunciados como ‘si ABC es un triángulo isósceles, entonces sus ángulos en la base serán iguales’ se aplicarían a cualquier triángulo isósceles, ya que son verdaderos de cualquier triángulo isósceles y no de uno en concreto. Es decir, el valor de verdad de la proposición que resulta de determinar ‘ABC’ por un triángulo isósceles, sea este el que sea, es siempre ‘verdadero’. Como sucedía en lógica, el enunciado de Euclides contiene un constituyente que aún no toma ningún valor (‘ABC’), lo cual expresaría la generalidad característica de los sistemas formales. .
Para introducir esta generalidad, hacen una distinción entre las proposiciones elementales y las funciones proposicionales elementales. Así se introducen las primeras en los Principia:
Elementary propositions [Proposiciones elementales]. By an "elementary" proposition we mean one which does not involve any variables, or, in other language, one which does not involve such words as “all”, “some”, “the” or equivalents for such words. A proposition such as “this is red”, where “this” is something given in sensation, will be elementary. .
Por lo tanto, las proposiciones elementales son aquellas que no tienen cuantificadores y que hacen denotaciones ostensivas de datos sensoriales elementales como “esto es rojo”. Este tipo de proposiciones no pueden pertenecer a un tratado de lógica como los Principia , pues “esto es rojo” es verdadera para ciertos objetos y para otros no. Y es por esto que introducen las funciones proposicionales elementales, que no son otra cosa que fórmulas que utilizan variables sin interpretar, es decir, oraciones sin contenido determinado:
Elementary propositional functions [Funciones proposicionales elementales]. By an ‘elementary propositional function’ we shall mean an expression containing an undetermined constituent, i.e. a variable, or several such constituents, and such that, when the undetermined constituent or constituents are determined, i.e. when values are assigned to the variable or variables, the resulting value of the expression in question is an elementary proposition. Thus if p is an undetermined elementary proposition, ‘not-p’ is an elementary propositional function. .
La idea de es que estudiar estas funciones es lo que hace falta para poder encontrar la generalidad que requiere un estudio lógico, pues estas no toman ningún valor determinado. Así, la base de los Principia la constituyen estas funciones proposicionales elementales, que no son otra cosa que fórmulas de la lógica proposicional “que al contener al menos una letra proposicional sin interpretar no tienen valor de verdad” .
Con esto planteado, lo único que falta es saber cómo determinar cuáles de estas funciones proposicionales elementales son verdades lógicas y cuáles no. Como ya se ha mencionado antes, la lógica es entendida en los Principia como la disciplina que trata con enunciados máximamente generales que aseveran algo que se cumple para cualquier determinación de contenido posible . Esto de entrada no resulta directamente incompatible con que se plantee la necesidad de demostrar la consistencia o la completitud de un conjunto de axiomas. Sin embargo, entendemos por qué esto no se hace en los Principia cuando revisamos los compromisos epistemológicos que allí se toman a la hora de abordar el concepto de “verdad lógica”. Lo crucial a notar aquí es que, a diferencia de Hilbert, mantienen la vieja idea de que existen verdades autoevidentes en las cuales se puede confiar para fundamentar las matemáticas sin ningún tipo de demostración (cf. . Para estos autores, la verdad lógica de las funciones proposicionales elementales que utilizan como axiomas fundamentales es luminosamente autoevidente . Una vez que se ha aceptado este concepto de verdad lógica, toma sentido la maniobra de los Principia de clasificar funciones proposicionales elementales que, a pesar de no tener valor de verdad, pueden ser aseveradas. La idea que plantean es que hay funciones proposicionales elementales que pueden aseverarse sin ser interpretadas porque su verdad es autoevidente:
Assertion of a propositional function [Aseveración de una función proposicional]. Besides the assertion of definite propositions, we need what we shall call “assertion of a propositional function”. The general notion of asserting any propositional function is not used until *9, but we use at once the notion of asserting various special elementary propositional functions. Let φx be a propositional function whose argument is x; then we may assert φx without assigning a value to x. This is done, for example, when the law of identity is asserted in the form “A is A”. Here A is left undetermined, because, however A may be determined, the result will be true. .
En este sentido, hay un conjunto de funciones proposicionales elementales que pueden ser aseveradas por su luminosa autoevidencia, y estas constituyen por eso mismo el conjunto de las verdades lógicas, es decir, el conjunto de los axiomas de la lógica desde los que se va a derivar la matemática. El ejemplo que proponen es la identidad: “A es A”. Y su idea es que la verdad de este tipo de fórmulas es simplemente obvia para la “mente instruida” , y es precisamente esta obviedad o autoevidencia frente a una “mente instruida” lo que hace que solicitar demostraciones de consistencia o completitud para un conjunto de axiomas cuya verdad es autoevidente no tenga sentido en el proyecto de los Principia .
Como hemos visto en la sección anterior, en el proyecto formalista de Hilbert sí se plantea la necesidad de demostrar la consistencia de los axiomas de las teorías matemáticas. Su intuitiva autoevidencia no se consideraba una justificación suficiente. Además, en el proyecto formalista se pedía una demostración de consistencia absoluta para fundamentar el edificio matemático, y para dicha demostración se plantea la exhaustiva formalización de una teoría axiomática como un sistema deductivo. Y es precisamente de este proyecto que surgen los problemas de completitud que aborda Gödel. En contraste con la sofisticación epistemológica y la rigurosidad matemática del formalismo de Hilbert, Whitehead y Russell apelan a una noción de verdad informal heredada desde la antigüedad a la epistemología moderna. La antigua idea del carácter “autoevidente” de los axiomas euclidianos es precisamente lo que inspira el planteamiento de Descartes de que la intuición del cogito debe ser la pieza fundacional de todo el edificio del conocimiento. Recordemos que las verdades autoevidentes, tal como las defendía Descartes, no requieren ningún tipo de justificación ni demostración, pues son “intuiciones indubitables” para la mente. El marco epistemológico de los Principia toma la verdad lógica (y matemática, dado el logicismo) desde esta perspectiva cerradamente tradicional. Es por esto por lo que la necesidad de demostrar la consistencia o la completitud del conjunto de axiomas de una teoría matemática o del conjunto de reglas de inferencia de una lógica, no es una preocupación dentro del marco epistemológico de los Principia :
Para Whitehead y Russell, que no justificaron la elección de ninguno de sus axiomas mediante conceptos matemáticos como el de función positiva, resultó imposible tomar el conjunto de proposiciones lógicas como un todo. De ahí que, a pesar de mantener que todas las verdades de la matemática podían obtenerse deductivamente partiendo solo de un número relativamente exiguo de conceptos lógicos, ni se plantearan llegar a probar que esto era realmente así. , énfasis añadido).
Que el problema de la completitud no tiene cabida dentro del programa de los Principia se soporta también históricamente. La completitud de la lógica proposicional, que es el lenguaje del que se parte en los Principia , no fue demostrada por Russell ni Whitehead, sino por Bernays, un discípulo de Hilbert, en 1918, y también por Post en 1921 con la introducción del método de tablas de verdad . Mientras tanto, Russell, al parecer, no alcanzó realmente a comprender lo que es una demostración de completitud, tal como se evidencia en su correspondencia con L. Henkin en la que confunde los conceptos de consistencia y completitud (cf. ; ; .
Una vez comprendido esto, nos damos cuenta de que del hecho de que Gödel aluda a los Principia Mathematica no debe inferirse que Whitehead y Russell son los referentes lógicos del trabajo de sus años de juventud en Viena. Esto se evidencia en la noción puramente informal e intuitiva de verdad lógica que estos autores utilizan, y desde la que no pueden siquiera plantearse las preguntas a las que contesta Gödel en sus dos teoremas. Más bien, hemos de entender que los teoremas del joven Gödel tienen lugar gracias al trabajo de Hilbert y Ackerman y a su idea de postular una noción de verdad lógica bien formalizada y con un sentido propio del que cabe hacer una ciencia formal . Probablemente, la referencia a los Principia se debe solamente a que el lenguaje ahí empleado se había tomado como modelo a seguir en la época y a que los resultados de limitación que Gödel presenta en 1931 implican que cualquier sistema que tenga la capacidad expresiva para desarrollar la aritmética es incompleto. Esta conclusión supone que desde que Russell y Whitehead introducen el axioma de la inducción en los Principia , están condenados a tratar con fórmulas que no pueden demostrar desde los axiomas elegidos anteriormente, y, por lo tanto, tendrán que añadir nuevos axiomas indefinidamente. Este inconveniente hace perder el sentido al proyecto logicista, pues la idea era mostrar que unos cuantos axiomas y conceptos lógicos bastaban para derivar toda la matemática. Pero, de nuevo, haber llegado a estas conclusiones solo es posible dentro del marco epistemológico del programa de Hilbert.
Habiendo llegado a este punto, es necesario aclarar por qué nos hemos detenido a estudiar las diferencias entre el formalismo de Hilbert y el logicismo de los Principia . La razón principal para haber hecho esto es que, como mostraremos a continuación, las banderas centrales que impulsan al proyecto del CV y la ambiciosa ciencia unificada que ensaya Carnap en Der logische Aufbau der Welt (Aufbau), tienen mucho más que ver con las ideas de Russell que con el proyecto formalista que da lugar a los teoremas de Gödel. Para ver esto, vale la pena comenzar por reconstruir los principios filosóficos que se expresan en el manifiesto del CV. The Scientific Conception of the World . En este texto se postula la “visión científica del mundo” que estos pensadores quieren propagar y que se caracteriza por dos componentes: empirismo y análisis lógico. La idea general consiste en que todo conocimiento debe provenir de la experiencia sensible y que debe emplearse el análisis lógico que los lenguajes simbólicos permiten para asegurar que este sea el caso. Este proyecto recibió el nombre de empirismo lógico. La estrategia general consiste en utilizar el análisis lógico para descomponer proposiciones en sus componentes más básicos y así distinguir entre aquellas que pueden ser reducidas a “lo dado” en la experiencia y aquellas que no se pueden verificar. La idea es que toda proposición que no sea reducible a enunciados observacionales (verificables) carece de sentido. Esta es la concepción verificacionista del significado que caracteriza al CV, especialmente en su planteamiento original.
Para los miembros del CV la importancia de los lenguajes simbólicos viene de que la ambigüedad de los lenguajes naturales da lugar a pseudoproblemas en la filosofía:
Ordinary language for instance uses the same part of speech, the substantive, for things (‘apple’) as well as for qualities (‘hardness’), relations (‘friendship’), and processes (‘sleep’); therefore it misleads one into a thing-like conception of functional concepts. (.
La ventaja de los lenguajes simbólicos estaría en que estos pueden ser utilizados para traducir proposiciones empíricas y así analizarlas (descomponerlas) de manera precisa. Por ejemplo, en lógica de predicados de primer orden podemos distinguir claramente entre objetos individuales (variables y constantes en minúsculas: x, c), conceptos generales interpretados como conjuntos (predicados, relaciones, y funciones que van con letras mayúsculas: Px, xRy, F(x)), cuantificadores existenciales y universales (Ɐ, ∃), conectivas lógicas como el condicional, el bicondicional (→, ↔), etc. En el lenguaje natural estos diferentes componentes de las proposiciones se confunden al no haber una sintaxis precisa, y es por eso que el análisis se vuelve difícil y muchas veces nos vemos engañados por pseudoproposiciones que abusan de la gramática imprecisa del lenguaje natural (cf. . En este sentido, por ejemplo, se diría que en un tratado de lógica pura como los Principia están planteadas ciertas reglas lógicas de máxima generalidad y cómo estas operan en un lenguaje simbólico preciso. Al traducir proposiciones empíricas a dicho lenguaje simbólico, deberíamos poder (al menos en principio) comprobar si estas pueden ser descompuestas en proposiciones más simples que en última instancia tengan como referencia “lo dado” en la experiencia.
El objetivo final sería, por lo tanto, llegar a descomponer todas las proposiciones empíricas en proposiciones elementales a la Russell como, por ejemplo: ‘esto es rojo’. Y dichas proposiciones elementales serían la base en la que todo conocimiento científico se fundamenta. Ahora bien, para el empirismo lógico del CV los lenguajes simbólicos en sí mismos no aportan conocimiento. El conocimiento solo puede extraerse de la experiencia sensible. Es por esto que para los miembros del CV ni la lógica ni la matemática pueden aportar conocimiento, más bien, se ha de entender que sus contenidos son meras tautologías. De ahí que se opongan a la idea kantiana de que en las matemáticas se realizan juicios sintéticos a priori. Los únicos juicios aceptables para el CV son los sintéticos a posteriori y los analíticos a priori. Sin embargo, los lenguajes simbólicos resultarían útiles en tanto que nos permiten organizar y analizar los contenidos de las proposiciones empíricas de forma más eficiente que cualquier lenguaje natural.
Con estos presupuestos en marcha, en el manifiesto del CV se propondrá el ideal de un sistema unificado de la ciencia en donde todas las proposiciones legítimas deben poder descomponerse en enunciados observacionales que se refieran directamente a “lo dado” en la experiencia: “The endeavour is to link and harmonise the achievements of individual investigators in their various fields of science” . Carnap había ensayado ya las pautas centrales de este proyecto en el Aufbau de 1928. El objetivo explícito del Aufbau es proporcionar un «Sistema unificado del conocimiento» que esté apoyado en fundamentos empíricos y a la vez esté ligado deductivamente de la manera en que Leibniz y Frege habían propuesto . En este sentido, lo que se persigue es la culminación del proyecto de la epistemología moderna. Lo que se propone es construir un único edificio del conocimiento partiendo de las percepciones “claras” y “distintas” del empirismo de Locke, y utilizar un cálculo universal como el ideado por racionalistas como Descartes y Leibniz, en proyectos como la mathesis universalis y el calculus ratiocinator, a manera de estructura deductiva que ligue toda la construcción.
En este punto, lo que resulta particularmente interesante para el tema de este artículo es que Carnap encuentra la manera de plantear su sistema constructivo precisamente en Russell. Como ha mostrado, la propuesta central del Aufbau se encuentra contenida en la obra de Russell: Our knowledge of the external world . La idea que se extrae de ahí para el Aufbau es que, para cumplir con los requisitos del empirismo lógico, no es estrictamente necesario partir del análisis lógico de las proposiciones y conceptos para llevarlos de nuevo a la experiencia, sino que se puede cumplir con el requisito de que todas las proposiciones puedan descomponerse en enunciados observacionales haciendo el camino inverso. Es decir, la idea es construir desde abajo el edificio del conocimiento agrupando las experiencias elementales en clases de equivalencia que formen los conceptos de un sistema constructivo:
By a constructional system we mean a step-by-step ordering of objects in such a way that the objects of each level are constructed from those of the lower levels. Because of the transitivity of reductibility, all objects of the constructional system are thus indirectly constructed from objects of the first level. These basic objects form the basis of the system. .
En esta estrategia constructiva se puede apreciar claramente la influencia que Russell tiene sobre Carnap. El modelo constructivo es análogo al de los Principia en donde se pretendía probar que la matemática podía derivarse de la lógica mostrando que la primera de estas podía construirse desde unas cuantas funciones proposicionales elementales cuya verdad es autoevidente. Análogamente, el Aufbau puede definirse como un intento de explicar nuestro conocimiento empírico mediante el estudio de un modelo de mundo que parte de la experiencia fenoménica de un sujeto y que se construye aplicando la Teoría simple de tipos de Russell:
The world model of the Aufbau is built in accordance with Russell's simple theory of types. Among its elements there accordingly are certain 'basic elements' (the 'individuals' of Principia Mathematica) which form the basis for a hierarchy of sets and relations. .
Esta Teoría simple de tipos se caracteriza precisamente por tener a su base unos elementos básicos de los que se deriva una jerarquía de conjuntos y relaciones. Ya hemos revisado anteriormente cómo se encontraban las verdades lógicas que Russell y Whitehead ponían a la base, y ahora revisaremos la estrategia, epistemológicamente complementaría, que propone el Aufbau. Los elementos básicos que Carnap elegirá serán las que él llama experiencias auto-psicológicas elementales. Estas se definen como la totalidad de lo experimentado por un sujeto en un momento determinado de tiempo . Lo que se pone en juego aquí es una teoría de los datos de los sentidos como contenido de la percepción. La idea es que el fundamento del conocimiento lo constituyen las experiencias elementales que ocupan el lugar de “lo dado” inmediatamente a la experiencia. Carnap tendrá muchos problemas para mostrar con claridad qué son exactamente las experiencias elementales. Incluso, hay dos características que, pese a contradecirse, permanecen constantes en sus diversos ejemplos: “At the same time (in §67) that Carnap is inclined to consider elementary experiences as abstractions of some kind (as mere 'places' in the stream), he maintains that they are what is ‘primarily given’ both psychologically and epistemologically” . Sin embargo, hay una cosa que Carnap acentúa constantemente cuando habla de las experiencias elementales, y es el hecho de que estas no pueden ser descompuestas en partes más simples. Es por esto que introduce el “cuasi-análisis. para dar con ellas, pues, en principio, y como base del sistema, estas experiencias no deberían ser analizables. Es aquí en donde el atomismo lógico de Russell entra en escena: “Carnap’s ideas about the unanalyzability of the basic elements seem to be an echo of Russell's doctrine of the simplicity of individuals, which was so prominent a part of his logical atomism” . Y vemos así que las experiencias elementales no son mucho más que un intento de dar contenido fenomenal a las proposiciones elementales que introducen Whitehead y Russell en los Principia .
Las experiencias elementales se convierten en los building blocks que dan contenido a las proposiciones elementales que harán de base al sistema constructivo. Las experiencias elementales, al igual que las proposiciones elementales, no son analizables. La proposición elemental “esto es rojo” es verdadera cuando “esto” se refiere a una experiencia elemental que “es roja”, y la verdad de esta correspondencia, en tanto que es no-analizable, es necesaria y luminosamente autoevidente para la mente de un sujeto cognoscente. No hace falta dar razones para sostener mi creencia de que “esto es rojo” pues “lo rojo” es “lo dado” a los sentidos como aquello sobre lo que se funda todo conocimiento ulterior. Una vez que hemos comprendido esto, podemos ver claramente que “lo dado” en el empirismo de Carnap (y de Russell) no es más que la versión empirista de la epistemología moderna que nos condujo a la noción de verdad lógica de los Principia . Al igual que del lado de la razón, representado en este caso por la lógica, en el lado de la experiencia sensible se introduce de nuevo la verdad como luminosa autoevidencia cuando se postulan las experiencias elementales como “lo dado”. La estrategia central del Aufbau es partir de aquello que no necesita justificación pues su verdad se basa en una correspondencia inmediata con datos sensibles de la experiencia, es decir, con “lo dado”, y trabajar sobre ello con un lenguaje simbólico (p.ej. la Teoría simple de tipos) que, a su vez, tiene verdades lógicas que no necesitan justificación, para construir así un sistema del conocimiento unificado deductivamente.
En este punto de la discusión, los elementos que nos permiten distinguir los compromisos epistemológicos que llevan a los teoremas del joven Gödel y aquellos que asume el CV y, particularmente, Carnap, ya han sido planteados. Lo que queda es hacer una contraposición que exponga la divergencia epistemológica de manera sucinta. Para comenzar, podemos afilar el argumento observando la diferente opinión que Gödel y Carnap tienen sobre el trabajo de Russell como lógico matemático. En la introducción del Aufbau, Carnap expresa el gran valor que ve en el sistema presentado en los Principia Mathematica ,y es por eso que lo elige para su construcción:
The most comprehensive system of logistics is that of Whitehead and Russell. At the moment it is the only one which contains a well-developed theory of relations and therefore the only one which can be considered a methodological aid to construction theory. It is based on the pioneer work of Frege, Schröder, Peano, and others. It is contained in toto in [Princ. Math]. .
Pero esto no ocurre solamente en el Aufbau, sino que en su obra Introduction to Symbolic Logic and Its Applications , Carnap no parece distinguir entre el proyecto de Whitehead y Russell y el de Hilbert, a pesar de que ya está al tanto del trabajo de este último. Como bibliografía sobre los fundamentos de las matemáticas mete en un mismo saco a múltiples autores, obras y proyectos, y de entre todos estos destaca a los Principia como la “obra líder” chief work):
Concerning the reconstruction of mathematics on the basis of new logic, cf. the basic older works: Frege [Grundlagen] and [Grundgesetze]; Peano [Formulaire]; as chief work, [Principia Mathematica]; and also Russell [Introduction]; and more recent work: Hilbert and Bernays [Grundlagen] .
En contraste, Gödel tiene una opinión muy distinta en cuanto al contenido de los Principia . Véase lo que dice sobre esta obra:
Por desgracia, esta primera y extensa presentación inicial de una lógica matemática y la derivación de la Matemática a partir de ella es tan pobre en la precisión formal de sus fundamentos (contenida en los *1-*21 de los Principia, que en este respecto representa un paso atrás si se la compara con la de Frege. Lo que por encima de todo se echa en falta es una exposición precisa de la sintaxis del formalismo. Las consideraciones sintácticas quedan omitidas incluso en casos en los que son necesarias para la solidez de las pruebas. .
Claramente, esta crítica de Gödel se refiere a la falta de una formalización precisa de los axiomas que hacen de base a los Principia, es decir, a la falta de demostraciones de consistencia, completitud, decidibilidad, etc. Esto sucede, como ya hemos explicado antes, porque en esta obra las verdades lógicas se distinguían por su luminosa autoevidencia. Para Whitehead y Russell , si un conjunto de axiomas es inconsistente entonces uno de ellos debe ser falso, y como todos los axiomas de la lógica proposicional se les presentaban como obviamente verdaderos para las ‘mentes instruidas’, no tenía sentido para ellos probar que el conjunto de axiomas que utilizan es consistente . El presupuesto epistemológico de creer en verdades luminosamente autoevidentes que utilizan Whitehead y Russell implica que estas no necesitan ningún tipo de justificación. Más bien, su verdad autoevidente las coloca como punto de partida para justificar todo lo demás. Con esto asumido, es natural que Russell y Whitehead no se plantearan la necesidad de tomar los axiomas de la lógica proposicional como un todo y demostrar su consistencia, y de esto se deriva que el problema de la completitud no pudiera siquiera surgir. Sin embargo, desde un punto de vista científicamente más riguroso, sabemos ya que es posible dar demostraciones matemáticas que justifiquen la elección de unos axiomas y no de otros más allá de su aparente autoevidencia.
Por otro lado, tenemos que notar aquí que la idea de autoevidencia luminosa, típica de la modernidad cartesiana, no solo se utiliza para verdades lógicas, sino que es parte crucial de todo empirismo que apele a una verdad por correspondencia con referencia a “lo dado”. La idea lockeana heredada por Russell y por el CV de tomar la experiencia sensible de “lo dado” como algo que sirve de justificación para todo el conocimiento es sumamente problemática. Esta estrategia fundacional es la que Sellars denunció como el Mito de lo dado del empirismo. La idea de Sellars es que un impacto causal de “lo dado” no puede nunca aportar conocimiento pues las proposiciones solo se justifican inferencialmente con otras proposiciones. La idea es que algo cuya verdad no se puede justificar ni necesita justificarse simplemente no puede considerarse conocimiento, pues no entra en el espacio lógico de las razones. Y si no hay razones, no se puede considerar que haya conocimiento. Y es precisamente en esta estrategia fundacional en donde se ven con claridad los compromisos epistemológicos que el CV hereda de Russell, tanto en lo que respecta a la lógica como en lo que respecta al empirismo. El empirismo lógico del CV abraza plenamente la estrategia fundacional que parte de verdades autoevidentes que no necesitan justificación y desde las cuales se construye todo el edificio del conocimiento. Empirismo y logicismo son dos caras de la misma moneda. Del lado del empirismo se parte de “lo dado” en la experiencia, por ejemplo, de las experiencias elementales de , y del lado del logicismo se parte de las funciones proposicionales elementales que se pueden aseverar por su luminosa autoevidencia ante una mente instruida y que son, por eso mismo, verdades lógicas. Comprendiendo esto y habiendo visto la simpatía de Carnap por el sistema de los Principia , podemos decir que Russell y Carnap, al menos en la etapa en que este último coincide con Gödel en Viena, comparten la concepción de verdad lógica como algo que no necesita ningún tipo de justificación. De ahí que no se planteen la necesidad de tener demostraciones de consistencia, de decidibilidad, o de completitud, que justifiquen la elección de un cierto conjunto de axiomas.
Una vez comprendido esto, vemos claramente que ya el joven Gödel de Viena no compartía los compromisos epistemológicos del CV ni de Carnap. Gödel no es un entusiasta del trabajo de , pues comprende la necesidad de la demostración de consistencia absoluta que propone el programa de Hilbert, y es desde esta comprensión que emprende el trabajo que lo lleva a los teoremas que le dieron la fama mundial. En este sentido, para Gödel, o bien se conseguía plantear una prueba de consistencia absoluta de la matemática elemental a la manera en que proponía Hilbert, o bien se tiene que aceptar que la matemática trata con algún tipo de objetos abstractos, que es la opción que toma después de sus resultados. Él mismo, como hemos visto al inicio, decía que ya desde su juventud sostenía el realismo conceptual como filosofía de las matemáticas, y fue esta posición la que después defendió frente a la idea convencionalista de Carnap de que toda la matemática es solamente sintaxis del lenguaje. En Is mathematics a syntax of language? , Gödel aborda este debate apoyándose en sus resultados de incompletitud. En este texto:
Uno de los argumentos fundamentales que Gödel ofrece para negarse a reconocer la tesis sintáctica, lo que solemos denominar convencionalista, sostenida por Carnap y Ramsey, es la existencia de resultados de incompletitud que impiden obtener una demostración absoluta y bien fundamentada de la consistencia de sistemas matemáticos elementales. Sin una tal demostración, sostiene Gödel, no es posible defender de forma coherente que todo el conocimiento matemático se pueda reducir a una serie de convenciones sobre el uso de sus símbolos.
Por otro lado, hay incluso razones para creer que cuando Gödel le comunicó el resultado de incompletitud a Carnap en 1930 en el Café Reichsrat, este no pudo apreciar las profundas implicaciones que este acontecimiento tenía. Dos años después, en su artículo Superación de la metafísica mediante el análisis lógico del lenguaje , Carnap sostiene que el lenguaje artificial puede reemplazar a todo el lenguaje natural y dice que debemos confiar en el análisis lógico porque en “estudios posteriores se mostrará cómo la metalógica, que trata acerca de las proposiciones de un lenguaje dado, puede formularse en ese mismo lenguaje” . Claramente, esto va en contra de la demostración de de que todo lenguaje que posea la capacidad expresiva de referirse a sí mismo “con predicados semánticos como «es verdadero» y «es falso», no puede darse una definición de verdad consistente capaz de evitar las paradojas conocidas” . Sin embargo, el resultado de ya está contenido en el trabajo de Gödel, pues la incompletitud es justamente consecuencia de la capacidad expresiva que hace falta para formalizar la aritmética. El mismo Gödel, en una carta a A. Burks, dice:
A complete epistemological description of a language A cannot be given in the same language A, because the concept of truth of sentence A cannot be given in the same language A, because the concept of truth of sentences of A cannot be defined in A. It is this theorem which is the true reason for the existence of undecidable propositions in the formal Systems containing arithmetic. I did not, however, formulate it explicitly in my paper of 1931, but in my Princeton lectures of 1934. The same theorem was proved by Tarski in his paper on the concept of truth published in 1933. , énfasis añadido).
Por lo tanto, nos podemos aventurar a decir que, si Carnap hubiera comprendido realmente el teorema de incompletitud de Gödel no hubiera hecho una afirmación tan arriesgada en su artículo sobre la superación de la metafísica de 1932. Esto refuerza aún más la tesis aquí defendida de que hay una divergencia epistemológica importante que hace que ya el joven Gödel no pueda ser categorizado, filosóficamente, como un miembro del CV, más allá de las contingencias históricas que lo situaron alrededor de los intelectuales de este grupo.
El objetivo central de este artículo era mostrar que el pensamiento del joven Gödel puede ser distinguido con claridad del proyecto del CV debido a una clara divergencia en cuanto a presupuestos epistemológicos. Con esto, la idea era resaltar que ni siquiera el joven Gödel de Viena puede ser categorizado como miembro del CV desde un punto de vista filosófico. Sin embargo, se espera también que este estudio pueda contribuir a aclarar el lugar que tienen los diferentes proyectos de fundamentación de las matemáticas del siglo XX en la historia que dio forma a esta disciplina, a caballo entre las matemáticas y la filosofía, que hoy llamamos lógica.
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Aranda, V. (2022). “Completeness: From Husserl to Carnap.” Log. Univers. 16, 57–83. https://doi.org/10.1007/s11787-021-00283-4
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Uebel, T. (2024). "Vienna Circle", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2024 Edition), Edward N. Zalta & Uri Nodelman (eds.), URL=https://plato.stanford.edu/archives/sum2024/entries/vienna-circle/
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[1] Con esto se quiere hacer referencia al periodo comprendido entre su llegada a la Universidad de Viena en 1924 y la publicación del teorema incompletitud, que le lleva a la fama mundial, en 1931.
[2] Del alemán: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme .
[3] Para citas textuales de esta obra emplearemos la traducción inglesa: . The Logical Structure of the World and Pseudoproblems in Philosophy. Translated into English by Rolf A. George. Chicago & La Salle, IL: Open Court, 2nd printing 2005. La traducción literal del alemán al español sería: La construcción lógica del mundo.
[4] No se utiliza la etiqueta de “lenguajes formales” aquí pues esta se refiere, más bien, a lenguajes artificiales introducidos al estilo Hilbert, lo cual hoy en día es habitual al hacer lógica pero que en la época no estaba establecido. En este sentido, con “lenguajes simbólicos” se hace referencia de manera amplia a lenguajes artificiales que utilizan variables y constantes de manera similar al álgebra.
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